「数」がいくらでもあるというのは頭の中で成り立つような信念だけど、身の回りにあるもっと生々しい数はどのくらいの速さで増えるものなのだろうか。
一つ形のいい小石を拾い上げて、何もない平原のお気に入りの場所に置いてみるとする。 こういう小石はどのくらいここにとどまり続けるのだろうか。 いつか突風でどこかに吹き飛ばされるだろうか。 洪水や、人知れず流れを変えた小川が運び去ってしまうのだろうか。 枯れた植物や降り積もるチリからなる土が覆い隠し暗闇のうちに飲み込まれてしまうのだろうか。 あるいは長年の風雨にさらされ、そのうち風化して千々に砕けてしまうのだろうか。 いずれにしてもぼくが置いたこの小石はぼくが知らない遠い時までこのままそこに居つづけるだろう。 小石は小石、かなりの間 1 つのものとしてその個体を保ち続ける。 2 つの小石ならやはりかなりの間は 2 であり続ける。 時間に対して結晶化した永遠を想像させるこうした個数は時間と無縁に見える。 dx/dt=0.
もう少し、変化するものを考えてみよう。 時間で時間を測るのはおかしい気もするけれど、おかしいとばかり言い切ってしまえない日常の生々しさがある。 一日一日、一年一年、時間にはサイクルがあり単位があり繰り返しがある。 草花は季節に合わせ育ち、花を咲かせ、実をつけ、冬に枯れたかと思うと、次の春に同じサイクルを繰り返す。 コンピュータもサイクルで動く。 サイクルの間に一つ一つ記号を書き換えテープを動かす。 サイクルは積み重なりとして一定の変化を生み出す。 人生は積み重なる。 時間を歩みとしての距離に例えるだけのたゆまぬ動き、流れを感じる。 特に波乱のない日常の中に、こうした一定に日々の生活に応じて、同じようにいろいろなものがゆっくりと増えたりゆっくりと減ったりしていく。 ビンの中のコーヒー豆は一日一日と減っていく。 対してその脇のゴミ箱のゴミは、いっぱいになるまで日々少しずつ増えていく。 過去は少しずつ遠ざかり、将来の予定は少しずつ近寄ってくる。 こうやってぼくらは周りの時間的に一定の変化に仮託しながら時の流れを感じていく。 ぼくらに一番馴染み深い変化。 毎年 1 つずつ積み重なっていく小石のように、1, 2, 3, 4 と増えていく直線的で一次で、時計仕掛けの、変化とはそれ以外にないと誤って人々に思い込ませているような変化。 1, 2, 3, 4 という数列はどの数も前の数と 1 つ違う。 積み上げられていく小石が時間を刻む。 dx/dt=1.
しかし、昨日と同じ明日はやってこない。 父親が自らの子供時代を思い出し、どう育てようと息子は別の時代を生きる。 とりわけ近代、人々が発展という罠に捕らわれてからはそうである。 変化にはぼくらが想像する以上の、日々の積み重ね以上の何か実質的な中身がある。 実質的な中身を数だけで捉えられるなどとは思えない。 しかし数はそれを反映して何かを示している。 何かを作りだすのは集団だ。
1 人の有名人が街角にたたずめば何事かと人々が集まってくるだろう。 やがて集団は幾重にも円環を描く塊となる。 円は面倒なので碁盤目のように人々が並ぶとしてみよう。 1 人の人の前後左右、その四隅に 1 列目の人が並ぶ。 ここには 3×3、9 人の人がいる。 次にその外側、2 列目までに並ぶ人々は、5×5、25 人。 人々の輪が大きくなるに従い、人々の数は 1, 9, 25, 49, 81 と増えていく。 中心の人が有名であること、集団の中で抜きん出ていることは、一人が一人ずつ接する日常とは何か違うものを作り出す原因となっている。 2 次元の平面に集まる人を表すこの数列は奇数 1, 3, 5, 7, 9 の 2 乗、2 次の変化だ。 このときその差、8, 16, 24, 32 の中に前に見た数列 1, 2, 3, 4 を見出す。 8 つずつにはなっているが、これは積み上げた結果としての直線的変化だ。 dx/dt=t.
この過程を繰り返すなら、次に 3 次の、その次に 4 次の変化を見つけ出すだろう。 積み重ね、積分は次数を 1 つ上げる。 こうして多様な変化が生まれる。 こうした変化は増えるだけではなくときに減ることもする。 2 次式、パラボラはひとつの山あるいは谷を持つ。 3 次式には山と谷の両方があるかもしれない。 10 次式は 9 つまでのこうした極値をもちうる。 時間に関する多項式的変化、あるいはそれで近似されるようなサイクル的な変化がこうして生まれる。 ぼくらは世界の変化を多項式や三角関数に当てはめようとする。 あらゆる変化を記述しようと試みる。 惑星の動きは、回転と、それを補正するたくさんの周天円、あるいは摂動項に分解される。 さらに日々の気温を景気を、世界のあらゆる変化をそうしてフィッテングしようと試みる。 世界は記述されたのだろうか。
しかし世界はそうした試みをあざ笑っている。 記述されたかのような軌道は、ほんのわずかにずれていく。 わずかに見えたそのずれは急速に拡大していく。 1 次、2 次、3 次、4 次、あらゆる多項式を上回る速さで現実の世界は逃げていく。 予測しようとした試みを許さない何か、人々がカオスとよんだ何か。 こうした変化のすさまじさをぼくらは知らなかったわけじゃない。 でも日常の変化に引きずられて、いつか必ず破綻するはずのネズミ講式の罠に引っかかる。 これは愚かで不幸な一部の人たちの話ではない。 近代に生きながら昨日と同じ明日がくると思っているすべての人が、必然のように足を踏み入れざるをえない罠だ。
こうしたある値の急速な増加は、時間の変化がその値そのものに寄るときに起こる、dx/dt=x. これは指数関数という名が与えられた多項式の無限の重なりの中に潜む x = 1 + t + t2/2 + t3/6 + t4/24 + ... = et.
ひとつのやや肥太り気味の原子に小さな中性子があたると、原子は 2 つに分かれ、光や何かの他にいくつかの中性子を出す。 こうして複数に増えた中性子が適当な速度で別の原子にあたると同じ過程が繰り返される。 ひとつの過程で中性子が 2 倍になるのなら、中性子の数は 1, 2, 4, 8 と増えていく。 10 ステップ目には 1024 であったものが、20 ステップ目には 1 048 576 に、30 ステップ目には 1 073 741 824 になる。 この急速な拡大を連鎖反応による核爆発とよぶ。 拡大を指数関数、ネズミ算、複利、いろいろ別な名前で呼んでも似たようなものだ。 中性子の数の時間の変化はその数そのものに寄っている。 しかし、それそのものに寄るものの代表格は生物だ。 栄養たっぷりのシャーレに大腸菌を 1 匹入れれば、分裂するごとに 2, 4, 8, 16, 32 と増え続ける。 シャーレの中の大腸菌はエサが足りなくなったり、シャーレにいっぱいになればもうこんな拡大は続けていられない。 ネズミ講の始まりと終わりでその状況が天と地であるのと同じように、このとき大腸菌を別の状況が支配する。 これは昨日と同じ明日にならない別の例となる。
こうした指数関数的拡大を手ごろなサイズに手なずける方法は知っている。 それが数そのものといってもいい。 さっきの 10 ステップごとの数列 1, 1 024, 1 048 576, 1 073 741 824 では桁数がおよそ 3 桁ずつ増えていく。 数は 1024 倍に増えるが、桁数は 3 つずつ、1, 4, 7, 10, 見慣れた直線的な増え方だ。 ここにちょっとしたごまかしがある。 1 073 741 824 という数を表すのに 1 073 741 824 個の点を示す代わりにぼくらは 10 個の数字を書きつらねて済ます。 しかし数字の列 1 073 741 824 はどういう意味で数 1 073 741 824 なのだろうか。
さらに指数関数を上回って増えるものもたくさんある。 組み合わせ爆発的な階乗 1, 2, 6, 24, 120. いつ終わるか期待できるような計算では計算できないアッカーマン関数、計算するプロセスそのものがないビジービーバー関数。 しかし計算論的お遊びとばかりいっていられないものもある。 人類の人口は、ギザのピラミッドが作られたころ 1 億人だった。 2 千数百年後イエスがいたころには 2 億人になった。 4 億人になるのは千数百年後の 14 世紀ごろである。 その後、ルネッサンス、産業革命で弾みがついていく。 17 世紀 8 億、19 世紀半ば 16 億、1963 年 32 億、2003 年 64 億。 倍になる間隔はだんだんと短くなる。 そろそろ地球もいっぱいになったという意味で 21 世紀前半は人類最大の転換点だけど、ここまでは大腸菌より元気にやってきた。
地球上の人間はシャーレの中の大腸菌と何が違ったのだろう。 dx/dt=x2 ということはあるだろうか。 媒質の中にちょっぴり X という分子があって、たまさか別の X と出会ったときに、周りの物質を X に変えちゃうのだとしよう。 細かい定数を気にしなければ初めのころの X の増え方は dx/dt=x2, よって、x=−1/t, 見慣れた双曲線、ハイパーサイクル、自己触媒。 この変化は急速に拡大するどころか有限の時間で発散してしまう。
そうだとすると自己触媒となっているものは何だろう。 ハイパーサイクルは遺伝的記号を固定化するのに役立ったという仮説として現れてきた。 恣意的でありえた記号が固定化されるプロセスには何があるのだろうか。 伝わるものの特性とは何か。
