シミュレーションのため、$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbf{R}^n$ において互いに等距離離れた $n+1$ 個の点の座標が欲しかったので、備忘のため記録。 自己流。調べればもっとよいものがあるかもしれない。
上のような点を結べば、正三角形、正四面体の拡張である $n$ 次元正単体（正 $n$ 単体）をなす。 $n$ 次元に 1 次元増やした $\mathbf{R}^{n+1}$ を考えると、その標準基底 $$\begin{array}{c} (1, 0, \cdots, 0),\\ (0, 1, \cdots, 0),\\ \vdots\\ (0, 0, \cdots, 1)\, \end{array}$$ が、こうした正 $n$ 単体をなしており、どの点も互いに $\sqrt{2}$ だけ離れていることはすぐにわかる。
よって、法線 $(1, 1, \cdots, 1)$ に直交する $n$ 次元部分空間への射影が、求める（頂点間の距離が $\sqrt{2}$ の）正 $n$ 単体のデカルト座標を与える。 以下の $(x_{ij})$ $(i = 0, ..., n,\ j = 0, ..., n-1)$ の行はそうしたものの例となる（添字を $0$ からとっていることに注意）。 $$(x_{ij}) = \left( \begin{array}{ccccccc} \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{6}}, & \displaystyle \frac{-1}{2 \sqrt{3}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{(j+1)(j+2)}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{n (n+1)}} \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{6}}, & \displaystyle \frac{-1}{2 \sqrt{3}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{(j+1)(j+2)}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{n (n+1)}} \\ \displaystyle 0, & \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}, & \displaystyle \frac{-1}{2 \sqrt{3}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{(j+1)(j+2)}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{n (n+1)}} \\ \displaystyle 0, & \displaystyle 0, & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{(j+1)(j+2)}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{n (n+1)}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & \\ \displaystyle 0, & \displaystyle 0, & \displaystyle 0, & \cdots, & \displaystyle \sqrt{\frac{j+1}{j+2}}, & \cdots, & \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{n (n+1)}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ \displaystyle 0, & \displaystyle 0, & \displaystyle 0, & \cdots, & \displaystyle 0, & \cdots, & \displaystyle \sqrt{\frac{n}{n+1}} & \end{array} \right)$$ すなわち、 $$x_{ij} = \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{(j+1)(j+2)}} & \hspace{3em} (i \leq j)\\ \displaystyle \sqrt{\frac{j+1}{j+2}} & \hspace{3em} (i = j + 1)\\ \displaystyle 0 & \hspace{3em} (i > j + 1)\\ \end{array} \right.$$ 正単体の重心（各座標値の平均）は原点となる。
法線ベクトル $(1, 1, ..., 1)$ の列を加えた $n+1$ 次元正方行列 $$\left( \begin{array}{rrrcrr} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & \cdots & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & \cdots & -1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n & 1 \\ \end{array} \right)$$ の列が互いに直交することはすぐに確かめられ、この各列を正規化して直交行列とすれば、元の標準基底のベクトルを行ベクトルとして右から施し移したものはその行そのものとなるので（法線方向成分を除いて）上が得られる。 ただしこの取り方では行列式は $1$ とは限らず（特殊直交行列とは限らず）反転があるかもしれない。
