意味

情報論と呼ばれるものは、情報を扱いはしない。 ある仮定のもとで情報の量について云々はするが、情報そのものをうまく捉えてはいない。 すべて、表の出る確率がこれこれで裏の確率がこれこれといった確率分布を与えた後で始まる話であり、その表裏がどのような情報であるかについてその先は問えない。 これは公理化された確率論がそもそも確率そのものを扱わず、さまざまな事象に対する確率を与えた後で、その計算方法について示したものであることを引き継いでいる。 このことは、形式論理学が世界との間で論理が意味するものを捨てて、純粋に形式の内に留まることによって成功したのと似ている。 形式と世界とのインターフェースを直視し踏み込もうとすれば、たちまちからみつく茂みに足を取られ居場所を見失ないかねない。でもぼくらが現実にすでにいばらの中にいるかもしれないのに見ないふりをするとすれば、それもあまり居心地のいい話ではない。

情報量と情報との関係も微妙だし、情報の意味が受け手にとって変わってくることもほとんど自明だ。 アラビア文字やモンゴル文字を美しいと思いこそはすれ、ぼくにはほとんどそれ以上にはなりえない。 囲碁のルールは知っていてもぼくには盤面を見てもどちらが優勢かさえわからぬただの白黒の模様だ。 自分自身の X 線写真もぼくにはそれと大差ない。 肺の影とやらがあるかどうは専門の医者に見てもらうしかない。 こうした例は枚挙に暇がないほど挙げることができる。 “Gen.11” はわずか 6 バイトの文字列に過ぎないが、聖書が手元にあれば、創世記 11 章「バベルの塔」の物語を意味しうる。 0, 1 という 1 ビットの区別が何を意味するかは文脈の数、あらゆる yes-no 疑問文の数だけ異なりうる。 ということは結局状況を好きに設定することを認めてしまえば 1 ビットであらゆる情報を意味しうる。 情報は、送り手と受け手が共通に持つもの、言語の知識や暗号の鍵や聖書という本に依存している。 であれば文脈、送り手と受け手とが共通に持つものに相対的に、あるいはそれも含めて情報を定めればよいのだろうか。 しかし共通に持つものをまともに定められそうなのは、はじめからそれを意図したネットワークや通信の規格のようなものだけだろう。 道具が臨機応変に意味するところを変え、捉えがたいのに似て、共通に持つものがどこまで共通なのかは心許ない。

英語で出てくるアルファベットを頻度順に並べると ETAOIN SHRDLU で始まり XZ で終わるとされる。 かつての鋳植機のキーボードの配列。 英語の文章を符号化するとき、アルファベットを 1 バイトずつで表すのではなく、頻度の多い E に頻度の対数に応じた短いビット列を割り当て、Z に長いビット列を割り当てるといった具合にすれば、英語でありさえすればほとんどの場合符号は元のものより短くなる。 イカサマコインが 1 ビット以下であるように、英語の文字ごとの頻度が均一でなく冗長であるからエントロピーはいくらか小さくなるのだ。 しかしこれは最良とは程遠い。 Q の後はほぼ必ず U であったり、S の後はほぼ必ず R でなかったりすることに注目すれば、2 文字目のエントロピーはさらに小さくなる。 3 文字、4 文字と増やしていけばどんどん小さくなっていく。 “When we have shuffled off this mortal ... ,” 英語文化圏の人なら『ハムレット』を読んだことがなくてもこの文に続く次の単語が coil であることはほぼ想像できてしまうのだろう。 ならば「英語文化」に相対的なこの coil の情報量は 1 ビットに満たないはずだ。 この表現自体シェイクスピアが作り出したものだとすると、少なくともその当初はそうではなかったのだろう。 しかしよほど鈍くない限り “mortal coil” という語が辞書に載る前から、それらの単語の微妙なニュアンスを読み取って、その比喩の意味するところは英語文化圏に居さえすれば自然に理解できたはずだ。 一方で、英語を他の文化圏として後から学ばねばならない人間にとっては、「死すべき者たちのコイル」が「人生のしがらみ」といった意味であるとはかなりの情報量がある。

140 バイトで表されるビット列は 2¹¹²⁰ 個、すなわちおよそ 10³³⁷ 個ある。 宇宙の水素原子の数が 10⁸⁰ とすれば、宇宙 10²⁵⁷ 個分ほど。 これを標準的な 2 進数値とみればその中には「7 の 5 の 3 乗乗」や「5 の階乗の階乗」も含まれ、ASCII 文字列と見れば、「“AB” の 70 回の繰り返し」も含まれる。 しかしこうした短い記述が与えられるものはごくごくごく一部に過ぎない。 単純な算術を駆使すれば、半分の 70 バイトまでのビット列は 2⁵⁶¹ ほどしかないのだから、半分以下に圧縮できるものは高々 2⁵⁵⁹ 分の 1, つまり 10¹⁶⁸ 分の 1 程しかない。 わずか 140 文字のビット列のほとんどは圧縮できず、ぼくらはそのほとんどを眼にすることさえない。 一方で全世界での Twitter のつぶやきは 2010 年 3 月現在 100 億、10¹⁰ ほど、ハードディスク一台に収まる。 あらゆる多様な人々のうずまく多様なコイル、加算的に積み上げられたつぶやきですら、この指数的な数の可能性の前ではほとんど無に等しい。 文字通りあらゆる本を納めたボルヘスの『バベルの図書館』に迷い込み一生さまよっても、一行でも意味のある文章に出会うことは絶望的に小さな可能性しか持ち得ない。 広大な空間から消え去りそうなほど小さな「意味」のある文章をより分けているのは何か。 あらゆる可能性からこの《世界》をより分けているのは。

確率論を世界から切り離すことで公理化したコルモゴロフは、またアルゴリズムによって文字列や数値の持つ文脈に寄らない客観的な本当の複雑さを定めようとした。 文字列や数の複雑さはそれを生成できる形式的な記述、すなわちプログラムの最小の長さとして定められる。 究極の圧縮。 どういうプログラム言語、どういう処理系かという文脈はあるが、それは定数分の違いに抑えられる。 しかしその複雑さを求めることはコンピュータにとっては計算不可能な問題であった。 究極の圧縮プログラムは存在してはならない。 そのようなプログラムを認めてしまうと、ある複雑さ以上でそれ自体が最小の記述を与えることになり矛盾する。 ベリーのパラドクス。 圧縮したい文字列より短いすべてのプログラムの生成結果を順に確かめ、文字列と比較して最小の記述を見つけ出そうとしても、それが停止するとは限らない。 停止問題。

完全なランダムノイズは、記述できるような何らの特徴を持たず、それを送ろうとすれば圧縮できず、最大の情報量を持つ。 しかし何も意味しない。 限界まで圧縮された信号はランダムノイズと区別できず、復元プログラムという鍵がないと決して解読はできない。 ある文脈、ある解読プログラムがそれの意味する長い物語を示すかもしれないが、それは文脈次第であらゆるもの、あらゆる可能性でありうる。 ならば何者でもなく何も意味しない。 文脈なしにはランダムさは何の情報も含まないのでなければならない。 しかし完全にそうだろうか。 一昔前のアナログテレビの「砂嵐」の画面はテレビの中の抵抗器の熱雑音によるほとんど完全なランダムパターンだ。 熱という完全な無知であり続ける領域から来た、圧縮できないと同時に何の情報も含んでいないパターン。 しかし、見ているとぼくらはそこにもうごめく線状のパターンを感じる。 何も情報が読み取れないはずのところにさえ、ぼくらの脳の視覚野はパターンを見つけ出そうともがき身もだえている。 この煩悶の中からこそ意味は始まるのではないだろうか。

「意味」と呼ばれるその共通のものが容易に取り出せるぐらいだったなら、形式的意味処理によって知性を模倣できるとした人工知能を作り出すことも何ということもなかったはずだ。 コンピュータがこの世に誕生した瞬間からあったその目論見は正に失敗の歴史でしかなかった。 1960 年代、ウィノグラードのプログラム SHRDLU は積み木の世界であるからこそ成功したかに見えた。 閉じられた箱庭の限定された意味の世界。 何色の積み木が他のどの積み木の上か下か、必要となる意味はそのようなものでしかない。 開かれた世界の意味をこれとして取り出すことはそれと比べるとずっと困難な話だ。 ランダムな可能性の中から意味あるものをうまくより分けなければ計算量は指数的に増大する。 フレーム問題。 ならば、ぼくらは何をやっているのか。 どうやってより分けているのか、本当により分けているのか。 しかし、ぼくが情報の意味の理解を間違っていないと自信を持つとしたら、むしろそれこそ間違っている。 理解に誤解はつきものだし、そうであるようなものでなければならない。

だが理解を相対化して意味などないというのとも違う。 意味がないと思っては、ぼくらの口はただの一言の言葉も発することはない。 昔タモリがやっていたハナモゲラ語ですら意味の境界で戯れるからこそ面白く感じる。 世界が「砂嵐」で、ものがぼくらにとって何がしかの意味を持つものとして現れてこなければ、ぼくらの眼はほとんど何も眼にすることはない。 それと定めることができなくても意味があるかのようにしかぼくらは振る舞えない。 意味があるかのように苦悶しつつ振る舞うこと、その結果として意味の世界が半ば結晶のようにしっかりと、半ばアメーバのように捉えどころなく析出してくる。

悪魔

外から見るときと内側から見るときとで状況が異なり、見るものの存在を考えざるをえないという状況のある部分は、量子論と関係なく、知識の有無と記述、すなわち情報とだけに関係したより一般的な事態なのかもしれない。 複素ベクトル空間やユニタリ変換はこの点では量子論という不思議な理論とだけ関連したガジェットに過ぎないのかも。

戦前、ハンガリーはすぐれた物理学者を数多く輩出したが、その中でもレオ・シラードは興味をそそらずにいられない人物だ。 シラードは、ナチスを逃れて亡命した後、ロンドンで連鎖反応のアイデアを思いつき、ニューヨークでアインシュタインを介して大統領にナチスの原爆開発の脅威を訴えた書簡を送り、シカゴで世界初の原子炉をフェルミとともに完成させた。 物理学が政治へと飲み込まれていく時代の中心に身をおいて、奇妙な運命から、自ら考案した原爆をいかに使わずに済むかと闘い続けた。 しかしナチス登場直前の 1920 年代、若かりしころのシラードが研究をスタートさせたころのベルリンは、敗戦の混乱とハイパーインフレに襲われてはいたものの、それでも物理学の中心地としての面目はまだ保ち続けていたようだ。 シラードはこの場所で、ある奇妙なエンジンについて思いを巡らせていた。 そのエンジンは非実用的な思考実験ではあるが、多くの物理学者を現在に至るまで真剣に検討せざるをえなくさせるものだった。 単純極まりないそのエンジンは、驚くべきことに熱から無限のエネルギーを取り出すかに見えるからだ。

シラードのエンジン^[1]

一定の温度 T の環境に置かれたこのエンジンの密閉されたシリンダはほとんど真空で分子 1 つだけが入れられている。 分子の速度は温度 T の周囲の分子の速度に従ったある分布の値をとる。 エンジンには小さな想像上の観測者がいる。 マクスウェルの悪魔の子分格なのでやはり「悪魔」とよばれるが、1 ビット程度のメモリしか必要としない。 はじめ悪魔のメモリは適当な定まった状態 s に置かれている。 エネルギーを生み出すサイクルは次のようである。 まずシリンダの中央に仕切りが入れられる。 このことによって仕切りで左右に分けられたシリンダどちらか一方にだけ分子 1 つがあることになる。 悪魔はシリンダの中を観察して、左か右どちらに分子があるかを記憶する。 例えば左なら L, 右なら R. つまり分子の位置と悪魔のメモリには相関ができ上がる。 左に分子を見出した悪魔は右半分にスライド可能なピストンを仕切りのところまで入れる。 右に分子があればその逆。 このピストンを入れる向きを区別するために悪魔の観測はどうしても必要になる。 その後、中央の仕切りを取り除く。 すると分子はピストンに衝突するたびにそれをちょっとだけ動かす。 跳ね返った分子はピストンを押して運動量を与えた分、速度が遅くなるが、容器の壁は温度 T のままなので、壁に衝突するうちにやがて元の元気を取り戻す。 つまり周囲の熱浴から熱 Q を受け取る。 そして再びピストンを押しにいく。 ピストンが容器の端までいって分子が動き回る体積が元の大きさにまでなったとき、この過程は終わる。 悪魔にとってピストンははっきり方向付けられた方向へと動き、それを使って仕事 W ができる。 つまり熱 Q が仕事 W に変わる。

分子が熱のエネルギーを回復する過程を繰り返せるだけ十分ゆっくりとピストンが動くなら、つまり物理学者がいうところの準静的に動くなら、定量的にはその大きさは Q = W = kT log_e2 となる。 k はボルツマン定数というある値で、日常の単位では 1.38×10⁻²³ ジュール/ケルビンというとても小さな値。 しかしエンジンをアボガドロ数個 (6.0×10²³ 個) も調達しとけば、絶対温度 300 ケルビン（摂氏 27℃ ぐらい）の熱浴から 1 回の動作あたり 1.7 キロジュール（0.4 キロカロリー）のエネルギーを取り出せる。 これは 100 kg のものを時速 2 km まで加速する。 なじみの程よい値なのには何か意味があるのだろう。 こうしていわゆる第二種永久機関が完成する。 つまり、こんなものは完成してはいけない。 この世界ではそんなことが起きないということは熱力学の第二法則の名で表現されているものであり、考え違いがどこかに隠れているはずだ。 こうした永久機関を標榜するかのごときものが現れれば、科学者はそのどこが問題なのか探り当てずにはいられない。

よく見ると上のエンジンのサイクルは完結していないことがわかる。 1980 年代、それまでの定説を覆し、ここに問題を見出したのはベネットという IBM の研究者だった。 このエンジンは、場所や方向がよくわからなかった熱運動からわずかながらその情報を引き出し、左右方向の運動を引き出す。 引き出された情報は悪魔のメモリに残ったままだ。 アボガドロ数の悪魔は全部でアボガドロ数ビットの情報を溜め込んでいる。 気体の動きとからまりあって相関していたこの情報は、次のサイクルのためにリセットされなければならない。 左と右、L と R として 2 つに分裂していた可能性はただひとつの状態 s にまとめられなければならない。 非可逆な操作。 ランダウアーの仕事を参照して、このとき最低でも同じだけの仕事を熱に変えることが必要なのだとベネットはいう。 分子の運動の基礎にある法則は可逆、つまり時間に前後がない。 だから見かけ上非可逆な操作は違いを見えないところに捨てているに違いない。 見るものがいないところ、つまり周囲の熱になっているのだと。

これを逆に言うなら、アボガドロ数ビットの元々リセットされているメモリが地下鉱脈あたりで発見されたら、300 ケルビンから 1.7 キロジュールのエネルギーを生み出せるはずだ。 他のエネルギー資源もそういう理解はできないのだろうか。 分子が石油や天然ガスのように炭化水素であることは二酸化炭素と水であることよりも化学物質としてリセットされたメモリに近い物質で、それがもつ秩序を利用してぼくらはテレビをみたり、冷蔵庫を動かしたり、洗濯機を回す。 最終的にそれらはすべてちょうどそのワット数だけの割合で熱エネルギーとなって室内に放出される。 日常の言葉づかいでエネルギーを消費するというとき、利用可能な自由エネルギーを意味するけれど、それは状態がわかっている一種の記憶だということになるのかもしれない。

熱に関する平衡状態の気体の振る舞いを記述する変数をいじり回しているうちに有用性が明らかになったエントロピーという概念は、平衡状態の分子運動を統計的に扱うときに再定義され、確率論の上で構築された情報量として再々定義された。 その二番目、統計力学のエントロピー S は、分子の取りうる同一視されるパターンの数 W の対数に比例する量として定められる。 自ら命を絶ったボルツマンの墓碑銘、S = k log_eW. しかし誰が何を同一視しているのだろう。 ここにも見るもののいない触れることのできないミクロと観察されアクセスされるマクロの問題がある。 マクロなものは熱力学でさんざん扱われてきたためにいかにも客観的に見える。 しかし悪魔は潜んでいないのだろうか。 それらが扱えるのは十分ほったらかしにしておいた熱平衡状態だけである。 背後の力学があらわになる小さな領域、短い時間では十分理解していたつもりのマクロな概念さえゆらぐ。 はたして悪魔からは、これらの学問はどんな風に見えているのだろう。

情報理論のエントロピーは、何か確率的にしかわからないある未知のものを知るために平均として必要となる量、確率分布がもつ不確定さのようなものを意味している。 コイン投げのように 2 つの選択肢が 0 か 1 かまったくわからず 50% ずつのときには 1 ビット。 イカサマコインであることを知っていればもっと小さい。 シラードの悪魔はシリンダを観察するとき 1 ビットの情報を得る。 かつてはこのときエントロピーが上昇するのだとの説があった。 悪魔の身になれば、ピストンの片側に分子があることを知ると、分子の取りうるパターン数 W は半減する。 系の内部のエントロピーは減少したかに見える。 観測によって悪魔にとってのエントロピーと外から見たエントロピーが齟齬をきたす。 エントロピーとは観測者に相対的な概念だ。 確率分布を所与の仮定として外からもってくる必要のある確率論にもとづいた情報理論では当たり前の話かもしれない。 散らしたぼくの机もぼくにとっては決してエントロピーは高くないのだから。

何よりも客観性に心を砕いてきた物理においても、系の中と外に観測するものの存在が紛れ込むかのようだ。 だがそう見えたものは、あまりに小さくて素朴な 1 ビットあるいは 1 キュービットの操作でしかない。 これらの観測者はなるほどそのような見方もできるかもしれないという程度のものだ。 新しいものが何かであると考えるような見方にこうした観測者は何かをもたらすのだろうか。 本当に世界を見るもの、係わるものとしての資格を持つのだろうか。 人や動物だけでなくあらゆるものが生々しい観測者だと考えてもいいのだとしたら、アニミズムかオカルティズムめいているだろうか。 逆に違いがあるとしたらそれは何なのだろう。

[1] Wikimedia Commons の画像 Szilard's_engine.svg (Htkym 作成) を改変。 licensed under CC-BY-SA 3.0 Unported.

独我論

2 キュービットの系の状態 |x〉は、2 ビットの 4 つの古典的状態 00, 01, 10, 11 に対応する 4 つの基底ベクトル |00〉 = (1 0 0 0)^T, |01〉 = (0 1 0 0)^T, |10〉 = (0 0 1 0)^T, |11〉 = (0 0 0 1)^T を使って、

|x〉 = α|00〉 + β|01〉 + γ|10〉 + δ|11〉 (|α|² + |β|² + |γ|² + |δ|² = 1)

と表される。 要するに 4 次元のベクトル (α β γ δ)^T. この α, β, γ, δ は複素数なのだけど、実数でイメージをふくらませるなら、4 次元における方向のようなもの。 ただ +|x〉と −|x〉とは実質同じ状態なので、その半分、4 次元人の見上げる空。

こうすると 2 キュービットの力学、時間に関する状態の移り変わりは 4×4 のユニタリ行列 U になる。 ユニタリは随伴行列（共役の転置行列）が逆行列に等しい U^* = U⁻¹, U^*U = UU^* = I といってもよくわからないけど、2 つのベクトル (α β γ δ)^T と (α' β' γ' δ')^T の内積 αα'^* + ββ'^* + γγ'^* + δδ'^* を保つもの、といってもやっぱりよくわからないけど、実数なら直交行列、3 次元でざっくり言えば 2 軸でまわせる地球儀をあちこちまわしてみるような、角度や大きさを変えずに向きだけ変えるような変換。 あと鏡に映して裏返すのもあり。

この 2 キュービットの各々が見るものと見られるものだとしてみよう。 前のキュービットを観測される側 A だとし、後ろを観測する側 B とする。 問題はどんな状態遷移、どんな U が観測なのかということだ。 何をしたら観測とよべるだろう。 何かを知ることだから A の状態の何かを B にコピーしたい。 でも実は A の状態を完全に B にコピーはできない。 地球儀をぐるぐる回しただけで日本列島が 2 つに増えたりしない。 ユニタリ行列ごときではそんな変換は許されようがないのだ。 クローニング不能定理。

では、A が古典的状態 0 と 1 にあるときだけうまくコピーできればよしとしてみよう。 観察者 B の初期値を決めないと U は決められないので B の方は古典的状態 0 としよう。 つまりこのとき、|00〉ならそのまま U |00〉= |00〉で、|10〉なら U |10〉= |11〉になるって条件だけでいい。 これは何のことはない。 U を例えば、

なる行列とすればいい。 これは見ての通り 3 番目と 4 番目の要素を入れ替えるだけの操作、言い換えるなら 3 番目の軸と 4 番目の軸の間に鏡を立てたような操作。 なるほどユニタリ行列になっている。

ちなみにこの U の場合、B が元々 1 だとすると、U |01〉= |01〉, U |11〉= |10〉で、A の反対になるようになっている。 実はこの行列は量子計算で制御 NOT と呼ばれている。 そこでは古典的な NAND ゲートに相当するような重要な操作。 A の側から見れば、A が 0 のとき B は状態を変えず、A が 1 のとき B はブール代数の NOT になる。 つまり、制御線 A をもつような NOT であることから制御 NOT と名付けられた。 どうも今ひとつ好きになれない名前だけど。 ここでは見られるもの A が制御するもので、見るもの B が制御されるものとなる。

この系で観測者の B は何を見るのだろう。 シュレーディンガーの猫の話では A が箱の中のアイソトープの崩壊の状態、B が箱に入れられた猫だった。 B が青酸ガスで死んじゃうのはかわいそうなので、ここではただ A を観察するだけの観察者とする。 初め、A が 0 とも 1 とも限らない一般の状態 (α β)^T にあるとしよう。 B は 0 が初期状態だから、このとき 4 次元のベクトルは α|00〉+ β|10〉 = (α 0 β 0)^T, すると上の制御 NOT を施せば (α 0 0 β)^T つまりは α|00〉+ β|11〉, エンタングルド状態。 当たり前のようで不思議なことに、通りかかった「ウィグナーの友人」C さんが蓋を開けて B に話を聞けば、0 である B は 0 である A しか見ておらず、1 である B は 1 である A しか見ていない。 蓋を開けて話を聞いた C さんにも大きな箱の系に入っていたとしよう。 このとき 3 キュービットで、α|000〉+ β|111〉. 当たり前のようで不思議なようで当たり前のことに 0 である C さんは 0 である B しか、1 である C さんは 1 である B しか知らない。

観測するということは、外から見るとこんな風にエンタングルメント、もつれあった相関を持つことらしい。 もし箱を宇宙全体に拡大してよければ、不可思議な収縮過程は必要なくなる。 宇宙とは無限次元の風見鶏の単位長さの状態ベクトル 1 つであり、すべてはどうエンタングルしてるかの重ね合わせとなる。 誰も矛盾は感じない。 大学院生エヴェレットはそう考えた。 とすると宇宙の状態ベクトルは、いろいろなエンタングルをしている観測者の重ね合わせからなっている。 そこには猫が死んだ世界とエンタングルした自分、生きている世界とエンタングルした自分がいる。 なるほど数式は単純になり、時計仕掛けの決定論の美しい神の秩序がふたたび復活する。

しかしでは、と、ふたたび疑問が持ち上がる。 独我論的疑問。 しかしでは、この私はなぜこの《私》なのか。 「この私がなぜこの私なのか」と思う重ねあわせにある多数のあなたがいるだけだよとエヴェレット派のハイパー実在論者は言うだろう。 でも、「この私がなぜこの私なのか」と思う重ねあわせにある多数のぼくの中でこの私はなぜこの《私》なのか。 問いは治まることはない。 意味のない問いだとしたら、なぜ問えると思うのか。 ここでしめされた世界の神はすべての可能性を知っているが故に何も知らないに等しい。 その世界にこの《私》がいるからこそ、この世界に新しいものを見たり、インターフェースのこちら側にいて関わりあったりするのではないか。 それは一体どういう事態なのか。 多数の私の内でこの《私》が客観的にピックアップできる存在でないとしたら、ぼくをいまここに捕えているものは何なのか。 私を《私》ということは、イヌをネコと呼んでみているだけなのだろうか。