とうふの角

25 度だろうが 7 度だろうが春、つぼみつけすぎのクレマチス。

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コーナー・キューブ、つまり 3 次元空間で x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 みたいな無限に巨大なとうふの 1 つの角を想像する。 この角のあたりを斜めに包丁でスパッと切ると、切り方によっていろんな三角錐ができあがる。 その切片はいろんな形の、すべての、ただし鋭角な三角形。 鈍角はどこにいったのだろう。 切り口が鈍角になるには直方体じゃなく平たくつぶれたとうふじゃないとだめそうだ。 そんなものもはやとうふではない。

飽くまで直方体の無限に大きなとうふがプリズムみたいに透明だとして、切片と真っ直ぐ垂直に向き合うなら、向こう側の 3 つの辺と角が透けて見えるはずだ。 別に切片を下にしてまな板を真上から覗き込んでもいいのだけれど。 そうして見たときの、この角の位置は平面三角形でいうところの「垂心」になっている。 つまり角から切片に垂直に下ろした足もやっぱり垂心なのだ。 透けて見える辺は三角形の頂点から下ろした垂線のはずだ。 なかなか面白いと思ったが、とうふが直方体であることを考えると別にそんなに不思議じゃない。 ちなみに、三角形の「重」心は向こう側の 3 つの辺を共有する直方体の対角線と三角形が交わる点。 これも不思議じゃない。

今度は切片に垂直ではなくとうふの直方体の角の方から [(x, x, x) から] 切片の三角形の射影を眺めると、とうふの角は「フェルマー点」だ。 外心やオイラー線はわかるようでわからない。

さてこうなると鈍角三角形も見つけたい。 鈍角三角形だと垂心が三角形の外にある。 とうふの四面体をどんな風にみたらとうふの角が外にある三角形がありうるだろうかと考えてたら、あったよ鈍角三角形。 透けて見える面に隠れていた。 かくしてみそ汁には三角のとうふが浮くのであった。